8:(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3\\ 7:(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\\ この記事では,教科書に載っているものから難しいものまで,重要な乗法公式を一覧にしてみました。この19個の乗法公式を知っていれば式の展開への抵抗は無くなるでしょう。あなたはどのレベルまで知っていますか?, $1:(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\\ 4:(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\ そしてあなたの夢を一緒に叶えていきませんか?, ©︎2020 『心理学的合格法』の慶早進学塾|慶應大・早稲田大・難関大専門予備校 | 運営:株式会社Realize. $1$ と $5$,$3$ と $4$ は本質的に同じですが,両方覚えておいて機械的に計算できる方が若干早い気がします。, $6:(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\ $(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$ しかしそれと同時にその先にあなたが何をやっていくのかも重要です。 3:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\\ 12:(a-b)^4=a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$, 二項定理で計算すればよいのですが,$4$ 乗の展開公式までは一瞬で言えるようにしておいた方がよいでしょう。, $13:(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}{}_n\mathrm{C}_{k}a^kb^{n-k}\\ 3次方程式や4次方程式の解の公式がどんな形か、知っていますか?3次方程式の解の公式は「カルダノの公式」、4次方程式の解の公式は「フェラーリの公式」と呼ばれています。そして、実は5次方程式の解の公式は存在しないことが証明されているのです…, はい。二次方程式の解の公式は中学生でも習いましたけど、高校生になってから、解と係数の関係とか、あと複素数も入ってきたりして、二次方程式にも色々あるんだなぁ〜という感じです。, はい。 えっくすいこーるにーえーぶんのまいなすびーぷらすまいなするーとびーにじょうまいなすよんえーしーです。, 二次方程式の解の公式 $$ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$$のとき、 $$\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ ただし、$$a,b,c$$は実数, うーんと、 まず、一次方程式は、$$ax+b=0$$と表せます。なので、$$\displaystyle x=-\frac{b}{a}$$ですね!, 一次方程式の解の公式 $$ax+b=0(a\neq 0)$$のとき、 $$\displaystyle x=-\frac{b}{a}$$, でも、二次方程式になると、暗算ではできません。そのために、公式を使うんじゃないですかね?, うん!多分そういうことだと思うよ! わざわざ一次方程式の解の公式のせても、あんまり意識して使わないからね。, とういうことは、今はるかは、「一次方程式の解の公式」と、「二次方程式の解の公式」を手に入れたことになるね。, 確かに、一次、二次と解の公式を見ると、三次方程式の解の公式も見てみたいです。 どんな形なんですか?, 三次方程式の解の公式 (引用:http://www.wolframalpha.com/input/?i=ax^3%2Bbx^2%2Bcx%2Bd%3D0), よく見てごらん。ちゃんと$$a,b,c,d$$の4つの係数の組み合わせで$$x$$の値が表現されていることが分かるよ!, こんな長い公式を教科書に乗せたら、2ページぐらい使っちゃいそうです! それに、まず覚えられません!!(笑), いや、いろんな説があるんだけど、どうやらこの解の公式を作った人は「タルタリア」という人物らしい。 タルタリアは、いろんな事情があってこの公式を自分だけの秘密にしておきたかったんだ。, でも、タルタリアが三次方程式の解の公式を見つけたという噂を嗅ぎつけた、カルダノという数学者が、タルタリアに何度もしつこく「誰にも言わないから、その公式を教えてくれ」とお願いしたんだ。, 何度もしつこくお願いされたタルタリアは、「絶対に他人に口外しない」という理由で、カルダノにだけ特別に教えたんだけど、それが良くなかった…, カルダノは、約束を破って、三次方程式の解の公式を、本に書いて広めてしまったんだ。 つまり結局は、この公式を有名にしたのは「カルダノ」なんだ。 だから、今でも「カルダノの公式」と呼ばれている。, 自分が作った公式が、他の人の名前で呼ばれているタルタリアさんも、なんだか、かわいそうです…, この三次方程式の解の公式を巡る数学者の話はとてもおもしろい。興味があれば、学校の図書館で以下の様な本を探して読んでみるといいよ。この話がもっと詳しく書いてあるし、とても読みやすいよ!, 三次方程式の解の公式であれだけ長かったのだから、四次方程式の公式っても〜っと長いんですかね??, 四次方程式の解の公式 (引用:http://www.wolframalpha.com/input/?i=ax^4%2Bbx^3%2Bcx^2%2Bdx%2Be%3D0), うん。どうやらそうみたいだ。 しかもフェラーリは、カルダノの弟子だったと言われているんだ。, なんだか、ドラマみたいな人物関係ですね…(笑) タルタリアさんは、カルダノさんに三次方程式の解の公式を取られて、さらにその弟子に四次方程式の解の公式を発見されるなんて、なんだかますますかわいそうですね…, じゃあじゃあ、話戻りますけど、五次方程式の解の公式って、これよりもさらに長いんですよね!, うん。正確には、五次以上の次数の一般の方程式には、解の公式は存在しない。 これは、アーベル・ルフィニの定理と呼ばれている。ルフィニさんがおおまかな証明を作り、アーベルさんがその証明の足りなかったところを補うという形で完成したんだ。, でも、将来なんかすごい数学者が出てきて、ひょっとしたらいつか五次方程式の解の公式が見つかるかもしれないですね!, 今後、何百年、何千年たっても存在しないものは存在しない。 存在しないから、絶対に見つかることはない。, 普通に式を解くと、$$n=-1$$になってしまいます。 式を満たす自然数$$n$$なんて存在しません。, でも、式の計算の方法をまだ習っていない人たちは、$$n=1,2,3,\ldots$$と、$$n$$を1ずつ増やしながら代入していって、延々に自然数$$n$$を探し続けるかも知れない。, $$n=4$$は…違う。$$n=5$$は…違う。$$n=100$$でも…違う。$$n=1000$$まで調べても…違う。こうやって、$$n=10000$$まで計算しても、等式が成り立たない。こんな人を見てたら、どう思う?, ちなみに、五次方程式に解の公式が存在しないことの証明はアーベルとは別にガロアという数学者も行っている。, その証明で彼が用いた理論は、今日ではガロア理論とよばれている。ガロア理論は、現在でも数学界で盛んに研究されている「抽象代数学」の扉を開いた大理論とされているんだ。, なんだか解の公式一つとっても奥が深い話になって、興味深いです! もっと知りたくなってきました!. のように,式を展開するための公式のことです。, 乗法公式は展開公式とも呼ばれます。高校数学の最初のテーマです。 ($15$ は $n$ が奇数のときのみ), $13$ はかの有名な二項定理です。実際の入試問題で $14, 15$ は因数分解公式(n乗の差,和)として用いられることが多いです。, $16:(x+a)(x+b)(x+c)=x^3+(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x+abc\\$ 19:(a+b+c)^3\\=a^3+b^3+c^3+3(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+6abc$, $18$ は式の対称性と係数の和が8になることから瞬時に導けるので,展開公式を丸ごと覚えるのではなく,導けるようにしましょう。 $19$ も同様に式の対称性と多項定理から一瞬で導けます。, このように対称式の展開は「対称性,多項定理,係数の和」に注目して瞬時に行えるようになっておくのが理想的です。, 繰り返しになりますが,乗法公式なんてなくても気合いがあればどんな式も展開できます。だから公式を万一忘れてもビビる必要はありません。しかし,式の展開などのしょうもない部分で脳のエネルギーを無駄に使うと大事なところで集中力が切れてしまうので上記の公式は覚えることをオススメします。. 15:(a+b)(a^{n-1}-a^{n-2}b+\cdots-ab^{n-2}+b^{n-1})=a^n+b^n$ 乗法公式とは, $(x+a)^2=x^2+2ax+a^2$ のように,式を展開するための公式のことです。 乗法公式は展開公式とも呼ばれます。高校数学の最初のテーマです。 この記事では,教科書に載っているものから難しいものまで,重要な乗法公式を一覧にしてみました。 私たちと一緒に勉強しながら、成績を上げませんか? $17:(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$. 公式を覚えていないと苦労する場面は多い。 三角関数の加法定理をゼロから計算するのは大変。部分積分も、簡単に思いつくものではない。, 何でもかんでも暗記するのは考えものだが、可能な範囲で省エネするのは大学受験で欠かせない。, 数式の羅列だから覚えるのが大変…と思うかもしれないが、実は工夫の余地がたくさんある。, 公式を覚えるのが苦手な人は少なからずいる。 まずは、そういう人たちがどうして覚えられないかを探求してみる。, 人物名というのは考えて出てくる類のものではないので、とにかく正確に、確実に暗記する必要があるのだ。, 数学の公式はどうだろうか。 同じように、公式だけを眺めて暗記するしかないのだろうか。, 単に公式をひたすら見て暗記するのではなく、教科書や参考書の例題を解く過程で実際に用いることになる。, のちに詳しく述べるが、数学の公式を暗記するうえでそれを使ってみるのは大変重要なことだ。, 逆にいうと、あたかも英単語を覚える可能ように暗記カードに公式のみを書いてせっせと暗記しようとしても、大抵の場合失敗に終わる。, このように、数学の公式は実用とともに暗記することができ、それをしないとどうしても頭に入らないのである。, この点において、地歴公民の知識のようにとにかく頭に入れたもん勝ち、というわけではないので注意しよう。, もう一つ、公式の暗記が下手な受験生が陥っている問題として「公式の意味を考えない」ということがある。, つまり、公式を意味のある式ではなく単なる文字列だと思っているのだ。 そのような覚え方をすると、数学公式の暗記は突如大変になる。, たとえば、2abの前についている符号がプラスなのかマイナスなのかと迷ってしまうのだ。, 完全に暗記している人なら問題ないかもしれないが、その他加法定理や和積の公式など、符号で悩む公式はたくさん存在する。, 余弦定理の式の意味は、後で詳しく見ていく。 このように、公式の意味を理解しないと暗記するのが大変になる。, 伊藤という人物と大隈という人物の名前を覚える時に、これら2つの名前に関係はあるだろうか。, もちろん登場人物としての関わりはあるだろうが、人物名や地名そのものに関係性があることは稀である。, しかし数学の公式は事情が異なる。 一見独立しているように見える公式も、実は深く関わっていることが多いのだ。, あるいはある公式を変形するとまた別の公式が生まれることもある。 このように、数学公式は独立した知識ではない。, 公式暗記に困っている受験生には、各々の公式の関係性を理解できていない人が多いのだ。, 公式暗記が苦手な人が抱える問題を述べてきた。 ここまでの内容をまとめると、公式を暗記するには, という3点が肝要であると言える。 これらを意識して、公式の覚え方を考え直すべきである。, ここまではやや抽象的な議論にとどまっていたため、具体例とともにこれら3点を実践してみよう。, 実際に公式を使い、意味を考え、公式同士の関係もみる。 どれも欠かせないので忘れないように。 まずは公式の使い方を見ていく。, すでに暗記している人にとっては常識だろうが、何も知らない人がこの公式を覚えるという状況を想定する。, そこで、実際にこの公式を使って問題を解いてみることにする。 次のような簡単な問いを考える。, 辺の長さを余弦定理に代入することでcosの値がわかり、そこから角度がもとまる、という理屈だ。, これらは最も単純な問題だが、こうした問題演習を繰り返すことで余弦定理の意味がわかってくる。, 式を眺めているだけでは、公式を覚えるのに苦労する。 やはり最善の方法は、自分でそれを使って答えを出してみることに尽きる。, では、具体的な勉強法について説明しよう。 公式の使い方を学ぶうえで重要なのは、教科書の例題・練習問題を中心に解くということである。, 数学の勉強をする時に、いきなり高いレベルの問題に挑戦する人がいるが、それは誤った判断である。, 最初の段階で要求されるのは、複雑な問題を解く力ではない。 公式を実際に何度も使って答えを出し、そして慣れていくということである。, 上で挙げたような式1,2本で終了する問題で構わない。 複雑な問題を解くのは無意味ではない。, だが、公式を使う以外の苦労が多すぎると、自分が何のために問題を解いているのか見失ってしまうのだ。, 単純な問題であれば「自分はいま公式を定着させるために勉強している」ということを忘れずにいられるので、ちゃんと成果を上げられる。, 平易な問題ばかりを解くのは退屈かもしれないが、初めのうちはどうしても必要な作業だ。 グッと我慢して、基礎の定着に努めよう。, 次に、公式の「意味」を考えてみよう。 同じく余弦定理を例に、これは何のための公式なのかを見ていく。, 1つ目の問題の場合、2つの長さとその間の角度が与えられており、求めたのはもう1つの辺の長さであった。, 2つの例題から見えてきただろうが、公式は「意味づけ」をすることで覚えやすくなる。 しかも、その意味は1つに限定されないのだ。, 最初のうちは、自分なりの勝手な意味づけで構わないので、公式の意味を抽象的に把握しておこう。, 仮に認識が間違っていたとしても、日頃の演習や定期試験のたびにその認識を改めていけばよい。, とにかく、自分なりの理論を構築してそれに則って問題を解くというのが理系科目では重要なのだ。 公式の意味を理解することのもう一つの価値を述べておこう。, 公式の符号を忘れるというのは、初期の頃は頻繁にあることだし、何かの拍子に記憶が抜ける可能性は十分に考えられる。, こういう時、あなたはどうするだろうか。 一か八かでどちらかを使ってみるというのはあまりに危険な話だ。, もし符号がプラスだったら、cosが大きい時(つまり角度が小さい時)にcの長さが大きくなってしまう。, しかし、実際はそんなことは起こり得ない。 角が小さい方が三角形は細長くなり、対辺は短くなるに決まっている。, 公式の意味を分かっていればこういう迷いが生じた時に瞬時に修正できるのだ。 以上より、公式の意味を覚えるのは以下のような価値がある。, 日頃数学の問題を解く時は、解答に至る過程と答えを記してそれで終わり、という人が大多数である。, ここで紹介するのはとても重要な技術なのでよく読んでほしい。 各々の問題で、何から何を求めたのかを整理してメモするのだ。, たとえば上の余弦定理の例題で言えば、「2つの長さとその間の角度→もう1つの長さ」というふうにノートにメモしておく。, 地味で面倒な作業だが、こうして公式を抽象化してまとめておくのが公式の理解に大いに役立つ。, 初めのうちは作業の価値が見えにくいに違いない。 しかし、これの積み重ねにより、実際の試験の場で解法をスムーズに発見できる。, 闇雲に公式を使うだけでも正解できることは多々ある。 全く無意味とまでは言えないが、目的を明確にして公式を使った方が効率がよいのは明らかである。, こうすることで、のちの復習の際に「ああ、この公式はこういう目的があるのか」と理解できる。, 先ほども少し述べたが、高校数学の公式には関連したものが多数存在する。 具体例を挙げつつ説明し、公式を効率的に・体系的に身につける術を見ていこう。, 三角形の角度の一つが直角であった場合を見てみる。 直角の場合、cosの値は0となるため、右辺の最後の項は消えて次の形になる。, この公式は、高校生であれば1度は見たことがあるはずだ。 そう、三平方の定理である。, いまどういう作業をしたのか考えてみよう。 余弦定理は、三角形であればθがどういう角度であっても成立する式だ。, したがって、仮に三平方の定理を忘れてしまったとしても、余弦定理から導いてやることが容易に可能だ。, あるいは逆に、余弦定理の形を忘れてしまっても、三平方の定理からある程度は予測可能なのである。, このように、関連している公式を発見することで、一方を忘れてしまっても他方から思い出すことができるし、包含関係にあるならば範囲の広い方を覚えておけば他は覚える必要がなくなるのである。, いちいちすべての公式を覚えるというのは受験生にとって小さくない負担だし、できれば覚える数は少なくして効率化を図りたいところ。, したがって公式間の関係に注意するのは大きな意味がある。 もう1つ例を挙げておく。三角関数の分野では, それは「加法定理」である。 加法定理さえ覚えておけば、他の公式たちはすべて導き出すことが可能だ。, 良い経験になるので、時間がある人は導出してみよう。 でも、覚えた方が楽でしょ?と思う人がいるはずだ。, 覚えてしばらくすると記憶があやふやとなり、符号を間違えたりsinとcosを間違えたり、いろいろな弊害が生じる。, それだったら、覚えるものを最低限にしてあとはその場で作り出してしまった方が賢いし安全である。, 実際、複雑な公式をせっせと覚えるよりもずっと楽だし、上で述べた覚え間違いのリスクもない。, それを眺めて、公式間の関係を掴むのだ。 違う学年の内容が密接に関係していることもある。, 日頃の学習では、闇雲に公式を覚えて使っていくのではなく、まず公式どうしの関係を抽象的に整理し、最低限覚えなければならないものは何なのかを明確にしてから本格的な問題演習に入った方が効率的である。, 数学の公式にはちゃんと意味がある。 公式を用いていく中で、次第にその公式の意味がわかってくる。, そうすれば、知らないうちに公式は暗記できるものなのだ。 英単語や歴史上の人物のように、暗記カードに公式を書いて丸覚えする、という手法は数学では意味がないし、何より効率も悪い。, そんな悩みを抱えている人はいませんか? 9:(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\\ 乗法公式とは, 5:(ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd$, このサイトを見てくれているみなさんには失礼なくらい易しい公式です。前座ですね。 数学 難しい連立方程式の解き方の質問です。 x/4 + y/16 = 90/60 ・・・① x/16 + y/4= 135/60 ・・・② この連立方程式です。 私はまず、 ①、②の式の両辺に240をかけました。 2:(a+b)(a-b)=a^2-b^2\\ 3次方程式や4次方程式の解の公式を紹介します。長すぎて、数学の教科書に書ききることが出来ません。そして実は、5次方程式の解の公式は存在しないことが証明されています。 各校舎(大阪校、岐阜校、大垣校)かテレビ電話にて、無料で受験・勉強相談を実施しています。, もしあなたが勉強の悩みを解決したいなら、ぜひ以下のボタンからお問い合わせください。, 慶早進学塾では毎年数多くの難関大合格者が生まれます。 © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. そして合格者は皆自分の将来の夢や目標に向かって羽ばたきます。 数学の公式を覚えるのに苦労している人は、覚え方そのものを誤っている。歴史上の人物や単語などのようにひたすら数式を眺めるだけでは暗記できないのだ。今回は、公式の意味を理解し、効率よく暗記する方法について述べる。 確かに受験で結果を残すことは大事です。 14:(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+ab^{n-2}+b^{n-1})=a^n-b^n\\ $17:(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$, $16$ は意味を考えればすぐ導けますが,試験中の脳の省エネのために覚えておいてもよいでしょう。 $17$ は非常に重要な公式です。因数分解公式(3つの立方和)としてもよく出現します。, $18:(a+b)(b+c)(c+a)=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2+2abc\\ 10:(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca$, これも教科書に載っているのでみなさん知っているでしょう。まあ実際は乗法公式なんて知らなくても気合いで1つずつ展開すれば済む話なんです。でも,覚えていたほうが速く解けるし,計算による脳のエネルギー消費を節約することができます。, $11:(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\\