【線形代数3|行列のランクと,行列が逆行列をもつための条件】 <第八回の内容>3×3行列の行列式の求め方(サラスの公式)から掃き出し法(ガウスの消去法)による3元一次連立方程式の解き方まで。, 前回は、2×2の行列と行列式を用いて2元1次連立方程式の解を求める方法を紹介しました。今回は、その3×3行列(3元一次連立方程式)バージョンです。, 難易度はぐっとアップしますが、3×3の今回の方法をマスターすれば、それ以上のサイズでも対応できるようになるので、ぜひじっくり取り組みましょう。, まず、掃き出し法を利用する前の準備として、正則行列かどうかの確認をするための行列式を求める方法(=サラスの公式)を紹介します。, 2×2の行列式の場合と比べて(参考:「2×2行列の逆行列と行列式の求め方」)、計算量・手順ともにかなり煩雑になりますが、何度か手を動かして解いていくうちに慣れてくるので安心してください。, まず、図のように行列の成分をかけていきます。対角成分(a,e,i)はわかりやすいですが、残りの2つは少しややこしいです。, 具体的には、『aei +bfg +chd 』という計算を行います。オレンジの線の矢印の方向へ掛け合わせていきます。, $$\det A=|A|=aei +bfg +chd−ceg−fha−idb$$と求まります。, 前回:二元一次連立方程式(「連立方程式を行列で解く方法(8)」)のときと同様に、まず行列の積の形であらわします。, $$\begin{bmatrix} (この行列を『拡大(係数)行列』と呼びます。) $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 6 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ 3 & -2 & -1 & 7 \end{pmatrix}$$ そして、『拡大(係数)行列』を行基本操作によって、(単位行列| )の形に変形した時の が連立方程式の解になります。 z 【線形代数1|行列の計算の基本!行列の積はなぜこうなる?】 2020/3/6 【線形代数1|行列の計算の基本!行列の積はなぜこうなる?】 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 【線形代数7|行列式を定義するための置換の性質を理解する】 【線形代数11|線形写像の像と核と次元定理(準備中)】 【線形代数5|線型独立のイメージと線型独立であるための条件】, このサイトはスパムを低減するために Akismet を使っています。コメントデータの処理方法の詳細はこちらをご覧ください。. \end{pmatrix}$$, 次に、単位行列にするためには1列目の2と3が不要なので、この二つを0にする→『2行目ー(入れ替えた1行目×2)』を行い、3行目についても同様に、『3行目ー(1行目×3)』という計算をします。, $$\begin{pmatrix} 基本変形. 6 \\ \end{pmatrix}$$, 次に、『1行目ー2行目×3』と『3行目+2行目×5』の操作を行うことで、1行2列と3行2列目の成分が0になります。(分数が多くなるので計算ミスに気をつけましょう。), $$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & \frac{1}{11} & \frac{23}{11} \\ z 3 & -2 & -1 & 7 【線形代数5|線型独立のイメージと線型独立であるための条件】, ・行列式 結局,連立1次方程式の加減法は係数だけを見ていれば良いことに気が付きます. つまり,いまみた加減法は以下のように拡大係数行列$\bmat{2&3&8\\1&2&5}$の変形と対応していま … 【線形代数4|連立1次方程式が解をもつ条件と解の自由度】 【線形代数2|連立1次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】←今の記事 x \\ 7 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{-4}{11} \\ 2 & 1 & 3 & 6 \\ 行列の変形では「列基本変形」もありますが,連立方程式を解くときは,列基本変形は使えないことに注意.例えば,係数行列の1列目と2列目を入れ換えるといった操作を行うと,xとyの解が入れ替わって … 2 & 1 & 3 & 6 \\ \end{pmatrix}$$, さて、途中に分数の計算が出てきてかなり大変でしたが、単位行列の右側の解(x y,z)を元々の三つの方程式に代入すると正しいことが確認できるかと思います。, このようにして連立方程式の解を求める方法を『掃き出し法』(あるいは『ガウスの消去法』)と呼びます。, (我々人間はこの『掃き出し法』のような、”単純な操作を繰り返していくこと”は不得手ですが、コンピューターは何の苦もなく高速・かつ正確に行うことができます。このような理由もあり、コンピューターの仕組み・機械学習の理論の理解には線形代数の知識が必須となるのです。), 掃き出し法は、このように連立方程式を解くためだけではなく、「逆行列」を求める際にも利用する事ができます。, (サラスの公式は3次の行列を対象にしていましたが、n次の行列式を求める方法は→「余因子展開と行列式の求め方」および、「置換・互換と行列式の定義式の意味を理解する」をご覧ください。), ・次に、3元1次連立方程式の解法として、『行基本操作』と『掃き出し法』を解説しました。, ・次回は、操作する行列が非正則行列(『行列式=0』)の場合について詳しく説明していきます。, 次回:線形代数第9回「階段行列とランク・自由度と正則行列でない場合の連立方程式の解法」, 「スマナビング!」では、読者の皆さんのご意見や、ご質問、記事のリクエストの募集を行なっています。, ・いいね!、B!やシェア、Twitterのフォローをしていただけると励みになります。, 手順1:成分を斜め(右下)に掛け合わせる 只今、学校にて行列を習っているわけですが、最近行列を使った消去法を習い始めました。たとえば3 1 -7 04 -1 -1 51 -1 2 2このような行列があったとします。習った方法は、(1)一つの行に0でない数 0 & 0 & \frac{24}{11} & \frac{24}{11} 1 & 0 & \frac{1}{11} & \frac{23}{11} \\ 【線形代数9|数ベクトル空間の部分空間と基底の考え方(準備中)】 【線形代数4|連立1次方程式が解をもつ条件と解の自由度】 【線形代数2|連立1次方程式の掃き出し法と行列の基本変形】 \end{pmatrix}$$, 残りは、3列目だけです。これまでと同じく単位行列Eにすることを目標に操作していきます。, 3行目を(11/24)倍することによって、3行3列目の成分が1になり、後は1行3列と2行3列の成分を0にすれば行基本操作は終了です。, $$\begin{bmatrix} x \\ 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{-4}{11} \\ 0 & -5 & -1 & 4 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} y \\ 連立方程式の実用的な解法である、掃き出し法(ガウス・ジョルダンの消去法)を学ぶ。掃き出し法では、元の方程式から拡大係数行列をつくり、行列の基本変形によって単位行列をつくる。この方法は、連立方程式を解くだけでなく逆行列を求めるために用いることもできる。 aei +bfg +chd 3 & -2 & -1 今回は線形代数における最重要項目の1つともいわれる「行基本変形」、「行列の階数判定」についてまとめました。「行基本変形」のやり方をすごくわかりやすく説明し、さらに「行基本変形」をつかって階段行列の作成、行列の階数を求める方法なども載せています。 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \end{pmatrix}$$, そして、『拡大(係数)行列』を行基本操作によって、(単位行列|●)の形に変形した時の●が連立方程式の解になります。, $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & \frac{7}{11} & \frac{-4}{11} \\ 行基本変形計算のコツ、行基本変形を使って階段行列を作ったり階数を求める方法などをわかりやすくまとめてみました。, \[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2  \\ 0 & 1_{\times 2} & 1_{\times 2}  \end{array} \right) \to\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2  \\ 0 & 2 & 2  \end{array} \right) \], \[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1  \\ 2 & 3 & 4  \end{array} \right) \to\left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4  \\ 1 & 1 & 1  \end{array} \right) \], \[\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2_{-2} & 2_{-2}  \\ 0 & 1 & 1  \end{array} \right) \to\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & 1  \end{array} \right) \], この3つの行列を使って、行の下のほうにいけばいくほど左側に並ぶ0の数が増えるように階段行列を作っていくのが目標です!, 計算の途中で分数を出すと、計算がややこしくなります。さらにただでさえ小さいスペースに分数を入れるとすごく見にくくなります。なので極力分数を出さないように計算しましょう!やむを得ずに分数を出す場合は変形の最後の最後に分数にするようにしましょう!, 基本的に0が多く含まれていて、かつなるべく1か-1が含まれている行を使って他の列を0にしていきましょう。行にある0の数が同じで、かつ1か-1が複数ある行列の場合はどっちから計算してもいいです。この場合私は左側の列に1や-1ある方を優先して使います。1つ変形例を書いてみます。, \[\left( \begin{array}{ccc} 2_{-4} & 1_{-4} & -3_{+4} & 2_{-2} \\ -2 & -2 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & -1 & 0   \end{array} \right) \ \to \\left( \begin{array}{ccc} -2 & -3 & 1 & 0 \\ -2 & -2 & 2 & -1 \\  2 & 3 & -1 & 0   \end{array} \right)\], 1回他の列を0にしたら、0が多く含まれている行(最初とは違う行)でまた行基本変形を行います。 \[\left( \begin{array}{ccc} -2 & -3 & 1 & 0 \\ -2_{+2} & -2_{+3} & 2_{-1} & -1 \\ 2_{-2} & 3_{-3} & -1_{+1} & 0   \end{array} \right) \ \to \\left( \begin{array}{ccc} -2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0  \end{array} \right)\], 今回の場合、2ステップで階段行列ができましたね。この場合、3行に対して、全部0の行が1つあるので、この行列の階数は2となります。, 階段行列を求める際に、一番左の要素を1にしろ、っていう先生もいるのでその場合は一番左の要素が1になるように割り算をします。(この手段は行列の階数を求めるためには不要の操作) \[\left( \begin{array}{ccc} -2_{\div (-2)} & -3_{\div (-2)} & 1_{\div (-2)} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0  \end{array} \right) \ \to \\left( \begin{array}{ccc} 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0  \end{array} \right)\], \[\left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3_{-2} & 4_{-3} & 5_{-4} &  6_{-5} \\ 4 & 5 & 6 & 7   \end{array} \right) \ \to \\left( \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 1 & 1 & 1 &  1 \\ 4 & 5 & 6 & 7   \end{array} \right) \], ただし、下の例のように全然1や-1がなくても分数計算なしで計算できる場合はそのまま計算することをおすすめします。, \[ \left( \begin{array}{ccc} 2 & 5 & -3 & -2 \\ -2_{+2} & -7_{+5} & 3_{-3} &  4_{-2} \\ 4_{-4} & 14_{-10} & -6_{+6} & -8_{+4}   \end{array} \right) \ \to \\left( \begin{array}{ccc}2 & 5 & -3 & -2 \\ 0 & -2 & 0 &  2 \\ 0 & 4 & 0 & -4   \end{array} \right)\], 1の(3)の「1つの行から他の行を何倍かしたものを足したり引いたりする」ときに、「他の行を何倍かする」動作と「1つの行から他の行の値を加減する」動作を同時に頭で計算すると計算ミスが多発します(暗算できる人はいいですが…)。, 私は計算するときに、他の行を何倍か足したり引いたりした結果を下にメモするようにしています。例えば、, \[\left( \begin{array}{ccc} 2_{+6} & 1 & -3_{+8} & 2_{-2} \\ 3 & 0 & 4 & -1 \\ -2 & 3 & 2 & 0   \end{array} \right) \ \to \\left( \begin{array}{ccc} 8 & 1 & 5 & 0 \\ 3 & 0 & 4 & -1 \\ -2 & 3 & 2 & 0   \end{array} \right)\], のように、いくら足す(もしくは引く)かを下にメモして置くことで2つの操作を脳内で同時でする必要がなくなり、それぞれを別々に処理できるので計算ミスの確率が低下します。, 階段行列とは、下に行けばいくほど左側の0の数が増えていき、左側の0の隣が1になっているような行列のことを階段行列といいます。*1, 階段行列にしたときに、それぞれの行の中に0ではない成分が1つでも残っている行の数の総数が行列の階数となり、Rankで表されます。, \[ \begin{align*}  &\left( \begin{array}{ccc} 3 & -1 & 9 & -5  \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -3 & -2 & 0 & -1  \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 3_{+2} & -1_{+1} & 9_{+1} & -5  \\ 2 & 1 & 1 & 0 \\ -3_{+4} & -2_{+2} & 0_{+2} & -1  \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 5_{-5} & 0 & 10_{-10} & -5_{+5}  \\ 2_{-2} & 1 & 1_{-4} & 0_{+2} \\ 1 & 0 & 2 & -1  \end{array} \right)  \\ \to \ &\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 & 0  \\ 0 & 1 & -3 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & -1  \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 & -1  \\ 0 & 1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0  \end{array} \right) \end{align*}\], この場合は、1行目と2行目には0でない成分が残っていますね。しかし、3行目はすべての行列の成分が0となっています。なので階数は2となります。, このように全部0の行があって階数が「行数」ではなくなるとき、私は階数(ランク)が減ると勝手に呼んでます。(例:4行の行列でランクが2→ランクが2減った), なお、多くの試験、例えば大学の定期試験、数検1級、大学院入試問題などでは、階数に関する問題が出た場合はほぼ確実に行基本変形をすると全部0の行が現れ、ランクが減る問題がほとんどです。, \[A = \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -2 & 9  \\ 4 & 5 & 0 & -3 \\ -2 & -6 & -2 & 12 \\ 3 & 2 & -1 & 4  \end{array} \right) \], \[B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1  \end{array} \right) \], \[ \begin{align*} A = &\left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -2 & 9  \\ 4_{+10} & 5_{-5} & 0_{-10} & -3_{+45} \\ -2_{-12} & -6_{+6} & -2_{+12} & 12_{-54} \\ 3_{+4} & 2_{-2} & -1_{-4} & 4_{+18}  \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -2 & 9  \\ 14 & 0 & -10 & 42 \\ -14_{+14}& 0 & 10_{-10} & -42_{+42} \\ 7 & 0 & -5 & 22 \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -2 & 9  \\ 14 & 0 & -10 & 42 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7 & 0 & -5 & 22 \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -2 & 9  \\ 7 & 0 & -5 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 7_{-7} & 0 & -5_{+5} & 22_{-21} \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & -2 & 9_{-9}  \\ 7 & 0 & -5 & 21_{-21} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 14_{-14} & -7 & -14_{+10} & 0  \\ 7 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 0 & -7 & -4 & 0  \\ 7 & 0 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 7 & 0 & -5 & 0  \\ 0 & -7 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -\frac{5}{7} & 0  \\ 0 & 1 & \frac{4}{7} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{align*}\], 行列 に関しては、途中 で割るところがあるので、0除算しないように かそれ以外で場合分けが必要である。, \[ \begin{align*} B = &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a_{+1} & 1_{+1} & 1_{+a}  \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a+1_{+1} & 2_{+a} & 1+a_{+1}\end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a+2_{\div (a+2)} & a+2_{\div (a+2)} & a+2_{\div (a+2)} \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 1_{-1} & 1_{-1} & a_{-1} \\ 1_{-1} & a_{-1} & 1_{-1} \\ 1 & 1 & 1  \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & a-1 \\ 0 & a-1 & 0 \\ 1 & 1 & 1  \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & a-1  \end{array} \right)\end{align*}\], \[ \begin{align*} C = &\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -2_{+1} & 1_{+1} & 1_{-2}  \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1_{+1} & 2_{-2} & -1_{+1} \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -2 \\ 1_{-1} & -2_{-1} & 1_{+2} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -2 \\ 0 & -3_{\div (-3)} & 3_{\div (-3)} \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1_{-1} & -2_{+1} \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \\ \to \ & \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)  \end{align*}\], 今回は行基本変形を用いた階段行列の作り方、作り方のコツ、行列の階数についてまとめてみました。, 行基本変形は階段行列以外にも様々な分野で必要になってくるのでぜひ得意になってください。次回は、行基本変形を使った連立方程式の解き方が説明できたらいいなと思ってます。, *1:先生によっては左側の0の隣は1じゃなくてもOKだという先生もいます。階数を求める際には赤色部分が1ではなくても求めることができるので私は階段行列にしろと言われたとき以外には赤色部分を1にする変形はしません。, 数学と情報が得意な大学生です。数学科目と情報科目をわかりやすく説明するブログを作っています!, このように全部0の行があって階数が「行数」ではなくなるとき、私は階数(ランク)が減ると, 先生によっては左側の0の隣は1じゃなくてもOKだという先生もいます。階数を求める際には赤色部分が1ではなくても求めることができるので私は階段行列にしろと言われたとき以外には赤色部分を1にする変形はしません。.