となります。 ©Copyright2020 Qikeru:学びを楽しくわかりやすく.All Rights Reserved. さいころ $A$,$B$ を同時に投げ、$A$ の出目を $a$、$B$ の出目を $b$ とする。このとき、次の確率を求めなさい。, \begin{align}(a,b)=(3,6),(4,4),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\end{align}, ちなみに、(2)のように場合の数が多くなってしまう問題は、別解のように「そうじゃない場合の数」を求めて全体から引いた方が速いです。, 問題. その場合、まずは1の目が一回も出ない確率を計算してそれを1から引いてみよう, あめが10個入った箱がひとつある まず、ひとつのサイコロを1回投げ、次のルールに従って、箱からあめ玉を取り出す 次に、取り出したあめ玉を箱に戻さずに、もう1回サイコロを投げ、同じルールであめ玉を取り出す このとき、箱の中に残るあめ玉の数が3個いかになる確率を求めなさい, >あめが10個入った箱がひとつある まず、ひとつのサイコロを1回投げ、次のルールに従って、箱からあめ玉を取り出す 次に、取り出したあめ玉を箱に戻さずに、もう1回サイコロを投げ、同じルールであめ玉を取り出す このとき、箱の中に残るあめ玉の数が3個いかになる確率を求めなさい, 2つのサイコロのでための合計が7未満ならばいいわけだね。 確率は64分の1で合ってますでしょうか 大中小 $3$ つのサイコロを同時に投げる。このとき、次の確率を求めなさい。, サイコロが $4$ 個以上になってくると、さすがに確率の定義だけでは厳しくなってきます。もっと難しい問題にチャレンジしたいという方は、ぜひ「, 「確率」の総まとめ記事です。確率とは何か、その基本的な求め方に触れた後、確率の解説記事全12個をまとめています。「確率をしっかりマスターしたい」「確率を自分のものにしたい」方は必見です!!, ⅰ)$a$ が $1$ もしくは $2$ のとき … 全部OKなので $2×6=12$ 通り。, ⅲ)$a$ が $4$ もしくは $5$ のとき … $b=3$ までの $2×3=6$ 通り。, ⅰ)$ab$ のとき … $$(a,b)=(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(6,5)$$の $5$ 通り。. 1 サイコロ1つの確率. とあるショップで8面のサイコロを2個同時に振って ひとつ確認したいのですが 例えば、結果が(2.4)・(3.3)・(4.2)・(3.3)の場合、4通りとなる場合はありますか?, 同数の場合は1つだね! 2/64=1/32 サイコロを振ったとき、それぞれの目が出る確率は、それぞれ「6分の1」。数学なら、それで間違いはありませんが、市販されているサイコロでは、必ずしも、そうはならないといわれます。サイコロの「面の重さ」の差サイコロの表面の「目の部分」は、彫られて 今回は、高校数学(数A)、数検、基本情報、SPIなどで出てくる「確率」分野の基礎を1時間でマスターできるような記事を作りました!, ※もし、「場合の数(特に順列と組み合わせの違い)がわからないなぁ」と思う人は、下の記事で復習することを強くお勧めします。, 事象A*1が起こる確率とは、「全体の場合の数」の中から「ある事象Aが起こる場合の数」がどれくらいあるかを表したものです。, まず、全体の場合の数は、サイコロの目1, 2, 3, 4, 5, 6に相当する6通りがあります。, 「赤玉3個、白玉2個」入った箱の中から2つ玉を取り出したとき、「赤玉と白玉が1つずつ取り出せる確率」を求めてみましょう。, もし、区別せずに計算した場合、赤玉の数と白玉の数が何個だろうが確率が同じになってしまいます。, なので、確率を計算するときは、それぞれの赤玉・白玉を区別して場合の数を計算していく必要があります。, 取り出すだけなので順序は関係ありませんね。なので、\[\begin{align*}{}_5 \mathrm{C} _2 & = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} \\ & = 10\end{align*}\]で計算でき、10通り求められます。, パターン数は、「赤玉3個の中から1つ取り出すパターン数」それぞれに「白玉2個の中から1つ取り出すパターン数」だけ存在するので、\[\begin{align*}{}_3 \mathrm{C} _1 \cdot {}_2 \mathrm{C} _1 = 6\end{align*}\]で計算でき、6通りと求められます。, 問題によっては、事象にA, Bのような名前が付けられ、それらの確率を \( P(A) \), \( P(B) \) のように表すこともあります。, 例えば、1つのサイコロを振ったときに1, 2, 3, 4, 5, 6のどれかが出る確率は1ですね。, 当たりくじがある確率が-0.2 (-20%) とか 150% (1.5) とか言われてもわけがわかりませんよね。, ある事象が起こらない確率というのは、「全体(1)」から、「事象が起こる確率」を引くことで求めることができます。, この公式は、「サイコロを2つ投げたとき、少なくとも1つは6の目が出る確率」のような「少なくとも1つは~」のような問題で使います。, この問題の場合、「全体」から「1つも6の目が出ない確率」を引くことで求めることができます*3。, それぞれの事象A, Bが互いの確率に全く影響しない(独立な)とき、2つの事象A, Bが両方起こる確率 \( P( A \cap B ) \) は、, 例えば2つのサイコロA, Bを同時に振ったときに「サイコロAが偶数」かつ「サイコロBが奇数」になることを考えましょう。, まず、「サイコロAが奇数」、「サイコロBが偶数」になる確率は下のように求めることができますね。, なので、「サイコロAが奇数」になる事象と「サイコロBが偶数」になる事象は独立といえます。, よって、「サイコロAが奇数」かつ「サイコロBが偶数」になる確率  \( P( A \cap B ) \) は、\[\begin{align*}P( A \cap B ) & = \frac{3}{6} \times \frac{3}{6} \\ & = \frac{9}{36} \\ & = \frac{1}{4}\end{align*}\]と求めることができます。, 36通り中、事象Aと事象Bの両方が起こるのは9通りとなるので、\[\begin{align*}P( A \cap B ) & = \frac{9}{36} \\ & = \frac{1}{4}\end{align*}\]と同じ答えになりますね!, このとき、2つの事象A, Bが両方起こる確率 \( P( A \cup B ) \) 「事象Aが起こる確率 \( P( A) \) と事象Bが起こる確率 \( P( B) \) の和」から「両方の事象が起こる確率 \( P( A \cap B) \) を引いたものとなります。, 例えば1つのサイコロ振ったときに出た目が「2の倍数」もしくは「3の倍数」になる確率を考えましょう。, まずは、サイコロを振ったときに出た目が「2の倍数」か「3の倍数」になる確率を求めます。, なので、ダブルカウントしている「2の倍数」かつ「3の倍数」の部分を引いてあげましょう。, 2の倍数かつ3の倍数(つまり6の倍数)になる確率は、下のように求めることができます。, よって、出た目が「2の倍数」もしくは「3の倍数」になる確率は\[\begin{align*}P( A \cup B ) & = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} \\ & = \frac{4}{6} \\ & = \frac{2}{3}\end{align*}\]と求めることができます。, ある事象A, Bが同時に起こりえないとき、つまり \( P( A \cap B ) = 0 \) のときは、どちらか一方(あるいは両方)が求まる確率を以下のように求めることができます。, ここで、1個のサイコロを振ったとき、1の目と5の目が同時に出ることなんてありえませんよね。, なので、1の目と5の目のどちらかが出る確率は\[\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\]と求めることができます。, 条件付き確率とは、とある事象Aが起こるとき(起こることが分かったとき)、目的の事象Bが起こる確率のことを表し、\( P( B | A) \) と表されます。, つまり、ある事象Aが起こると分かったとき、どれくらいの確率で目的の事象Bが発生するかを示したもの条件付き確率なのです。, (記号表記の順番に注意*4。 P( 求めたい事象の条件付き確率 | 分かったと仮定する事象 ) と頭にいれておきましょう。), 条件付き確率を求める際には、下のような表を用いて考えていくことを強くおすすめします。, 例えば、事象Aが起きたときの事象Bが起こる条件付き確率 \( P( B | A) \) は、下の式で求めることができます。, 表を書くことにより、どこの確率(場合の数)を使って求めることができるかが一目瞭然となるのでおススメです。, (※公式部分の確率は、場合の数と考えて\[\frac{ \color{purple}{事象A, Bともに起こる場合の数}}{\color{magenta}{事象Aが起こる場合の数}}\]と考えてもOKです。むしろこっちのほうが分数計算が減るので間違えにくいと思います。), 同じように、事象Bが起きたときの事象Aが起こる条件付き確率 \( P( A | B) \) は、下の式で求めることができます。, (※公式部分の確率は、場合の数と考えて\[\frac{ \color{purple}{事象A, Bともに起こる場合の数}}{\color{skyblue}{事象Bが起こる場合の数}}\]と考えてもOKです。むしろこっちのほうが分数計算が減るので間違えにくいと思います。), (1) 事象A, 事象Bが起こる確率 \( P(A) \), \( P(B) \) を求めなさい。(2) 事象Aかつ事象Bが起こる確率 \( P(A \cap B) \) を求めなさい。(3) 事象Aが起きたときに事象Bが起こる条件付き確率 \( P(B|A) \) 、および事象Bが起きたときに事象Aが起こる条件付き確率 \( P(A|B) \) を求めなさい。, 和が9:「3-6, 4-5, 5-4, 6-3」の4通り和が10:「4-6, 5-5, 6-4」の3通り和が11:「5-6, 6-5」の2通り和が12:「6-6」の1通り, なので、「出た目が9以上になる」確率 \( P(A) \) は\[P(A) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}\]となる。, また、サイコロBの出目が5以上(5か6)になる確率 \( P(B) \) は\[P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\]となる。, そのため、「出た目の和が9以上になる」と「サイコロBの出目が5以上になる」の事象は独立とはいえず、積の公式が使えない。, なので、出た目の和が9以上になるパターンの中から、出目が5となるパターンを数える。, すると、7パターンあることがわかるので確率 \( P(A \cap B) \) は\[P(A \cap B) = \frac{7}{36}\]となる。, (2)で書いた36通りから、それぞれの事象A, Bが発生する場合の数(確率でももちろんOK)を表にしてみましょう。, 表より、事象A(和が9以上)が起きたときの事象B(サイコロBの出目が5以上)が起こる条件付き確率 \( P( B | A ) \) は、以下のように求めることができます。, もちろん、\[\begin{align*}P( B | A ) & = \frac{ P( A \cap B ) }{ P(A) }\\ & = \frac{ \frac{7}{36} }{ \frac{5}{18} }\\ & = \frac{7}{10}\end{align*}\]と確率から求めてもOKです。, 同じように事象B(サイコロBの出目が5以上)が起きたときの事象A(和が9以上)が起きるの条件付き確率 \( P( A | B ) \) は、以下のように求めることができます。, もちろん、\[\begin{align*}P( A | B ) & = \frac{ P( A \cap B ) }{ P(B) }\\ & = \frac{ \frac{7}{36} }{ \frac{1}{3} }\\ & = \frac{7}{12}\end{align*}\]と確率から求めてもOKです。, 高校数学の範囲を外れてしまいますが、条件付き確率を応用したものに「ベイズの定理」というものがあります。, 数学が好きで興味がある人 or 大学で「ベイズの定理」を習った人はもしよかったらご覧ください。, 袋の中に重心の偏った2つのサイコロA、Bが入っている。Aは1の目が3/10の確率で、Bは1の目が3/5の確率が出る。, 袋の中からサイコロを一つ取り出し、振ってみたら1の目が出たという条件の下で、取り出したサイコロがAである条件付き確率は幾らか。, 全体の場合の数(5本から2本引いたときのパターン数)は\[\begin{align*}{}_5 \mathrm{C} _2 & = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} \\ & = 10\end{align*}\]と求められる。, また、2本中2本あたりを引くパターンは\[\begin{align*}{}_2 \mathrm{C} _2 & = 1\end{align*}\]となる。, よって、2本とも当たりになる確率は\[\begin{align*}\frac{{}_2 \mathrm{C} _2 }{{}_5 \mathrm{C} _2 } = \frac{1}{10}\end{align*}\]となる。, (少なくとも~という問題の多くは「全体」から引いたほうが答えが圧倒的に早く出せる), 4回の試行で表が出る確率は、他の試行に一切影響がない(独立)なので、\[\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{16} \]と求められる。, よって、「少なくとも表が1回出る確率」は、\[1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}\]となる。, 6個中3個とりだすパターン(全体)は、\[\begin{align*}{}_6 \mathrm{C} _3 & =  \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{1 \cdot 2 \cdot 3}\\ & = 20\end{align*}\]となり、20通りと求められる。, 赤玉が2つ含まれる(白玉が1つとなる)パターン数は\[\begin{align*}{}_4 \mathrm{C} _2 \cdot {}_2 \mathrm{C} _1 & = 6 \cdot 2\\ & = 12\end{align*}\]となり、12通りとなる。, よって、赤玉が2つ含まれる確率は\[\frac{12}{20} = \frac{3}{5}\]となる。, 赤玉が3つ含まれるパターン数は\[\begin{align*}{}_4 \mathrm{C} _3 = \frac{ 4 \cdot 3 \cdot 2}{ 1 \cdot 2 \cdot 3}\end{align*}\]となり、4通りとなる。, よって、赤玉が3つ含まれる確率は\[\frac{4}{20} = \frac{1}{5}\]となる。, よって、赤玉が2個以上出る確率は\[\frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\]と求められる。, ここで、「袋Aを選び」かつ「1の目」が出る確率は\[\frac{1}{2} \times \frac{3}{10} = \frac{3}{20}\]となる。, 同様に「袋Bを選び」かつ「1の目」が出る確率は\[\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}\]となる。, よって、1の目が出る確率は\[\frac{3}{20} + \frac{3}{10} = \frac{9}{20}\]と計算できる。, (下のように「Aを取り出す事象」と「1の目が出る」事象に注目しながら表を埋めながら計算していくことをおすすめします。), よって、1の目が出たという条件の下で、取り出したサイコロがAである条件付き確率は以下のように求めることができる。, 確率で使う性質、法則は基本的に上の5つのみなので、あとは練習問題を解くなどで慣れていきましょう。, *1:事象というと少し難しい言葉に聞こえますが「ある出来事が~」くらいに思っていただけたらOKです。, *3:後ろのほうに出てくる「積の法則」を使うと、1つも6の目が出ない確率(2回とも1, 2, 3, 4, 5の目が出る確率)は\[\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}\]で求めることができるので、少なくとも1つは6の目が出る確率は\[1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}\]と求まります。, *4:英語だとAが起こると分かったときのBが起こる条件付き確率のことを「B given A」というため、記号表記の順番がややこしくなっています。, 数学と情報が得意な大学生です。数学科目と情報科目をわかりやすく説明するブログを作っています!, ある事象Aが起こると分かったとき、どれくらいの確率で目的の事象Bが発生するかを示したもの, 事象というと少し難しい言葉に聞こえますが「ある出来事が~」くらいに思っていただけたらOKです。, 後ろのほうに出てくる「積の法則」を使うと、1つも6の目が出ない確率(2回とも1, 2, 3, 4, 5の目が出る確率)は\[, 英語だとAが起こると分かったときのBが起こる条件付き確率のことを「B given A」というため、記号表記の順番がややこしくなっています。.